Statistika dan Peluang
STATISTIKA DAN PELUANG
A. Statistika
| Peta Konsep |
Perhatikan gambar berikut!
Pernahkah kalian didatangi oleh tim sensus dari pemerintah yang mendata tentang anggota keluarga, jumlah ternak, jumlah pohon yang kalian miliki dan lain sebagainya? Taukah kalian apakah yang tim sensus inginkan dari kegiatan tersebut? Pada gambar di atas adalah salah satu kegiatan sensus yang dilakukan oleh tim sensus dari pemerintah kepada warga masyarakatnya. Tujuan dari sensus ini yaitu untuk mengetahui data valid terkait kependudukan di Indonesia. Hasil dari data tersebut nantinya akan diolah oleh tim sensus sehingga menghasilkan suatu kesimpulan terkait kependudukan di Indonesia. Berbicara mengenai data dan pengolahan data erat kaitanya dengan ilmu statistika yang akan dibahas lebih lanjut dalam materi ini.
1.
Pengumpulan dan Penyajian Data
a.
Pengertian datum dan
data
Pernahkah kaian mengukur tinggi
badan kalian? Pernah jugakah kalian mengukur tinggi badan teman-teman kalian? Dari
hasil pengukuran tinggi badan apakah yang kalian peroleh? Ya, tentunya ukuran
tinggi badan baik 160 cm, 155cm ataupun yang lainnya. Dari hasil pengukuran
tersebut apakah kalian mendapatkan suatu data? Lalu apakah kalian juga
mendapatkan suatu datum? Kemudian apa bedanya antara data dan datum?
Untuk mengetahui pengertian
dari data dan datum lakukanlah kegiatan berikut!
1)
Siapkan penggaris,
buku, pensil, bolpen, dan 3 buah sedotan dengan berbagai ukuran.
2)
Ukurlah secara
bergantian panjang sedotan, buku, pensil, bolpen, dan 3 buah sedotan berbagai
ukuran tersebut menggunakan penggaris.
3)
Catatlah hasil
pengukuran dari benda benda tersebut.
4)
Dari kegiatan di
atas fakta apakah yang kalian dapatkan?
5)
Berapa jumlah fakta
yang kalian dapatkan?
6)
Dapatkah kalian
menyebutkan fakta-fakta tersebut?
7)
Disebut apakah
fakta panjang suatu barang dari kegiatan di atas?
8)
Apakah kalian
mendapatkan data dari kegiatan di atas?
9)
Dapatkah kalian
menyimpulkan pengertian datum dan data?
Dari kegiatan di atas dapat
kita ketahui fakta tentang ukuran panjang dari buku, pensil, bolpen, dan 3 buah
sedotan dalam cm. Fakta dari ukuran panjang buku disebut sebagai fakta tunggal
atau dikenal sebagai datum, sedangkan kumpulan dari datum disebut sebagi data.
2. Pengertian
Statistika
Perhatikan
gambar di bawah
ini!
Apa yang kalian pikirkan setelah meliahat gambar di atas? Apa yang bisa
disimpulkan setelah meliahat
gambar di atas?
Pada gambar di atas terlihat seorang
pedagang dan seorang pembeli pakaian. Selama tiga minggu, seorang pedagang
pakaian mencatat jumlah pakaian yang terjual. Berdasarkan data tersebut
diketahui bahwa penjualan pada minggu pertama sebanyak 100 kodi, minggu kedua
sebanyak 105 kodi, dan minggu ketiga sebanyak 110 kodi. Pedagang tersebut
memperkirakan penjualan pada minggu keempat sebanyak 115 kodi. Pedagang itu
sebenarnya telah menggunakan statistika untuk menilai hasil pekerjaan di masa
yang telah lewat dan membuat perkiraan hasil pekerjaan pada masa yang akan
datang.
Dari ilustrasi di atas kita
mendapatkan kata-kata data, pendataan,
perkiraan dan statistika. Dapatkah kalian menyimpulkan pengertian dari
statistika?
Statistika adalah ilmu pengetahuan yang
berhubungan dengan cara cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penarikan
kesimpulan berdasarkan data tersebut.
3. Pengertian
Populasi dan Sampel
Perhatikan
gambar di bawah
ini!
Pada gambar di atas apakah
yang dilakukan sorang pedangang? Dari semua buah-buahan, mengapa pedangang
hanya menimbang buah yang dibelikan oleh pedangan
saja? Disebut apakah keseluruhan dan bagian dari buah-buahan yang ditimbang
itu? Dapatkah kalian menyumpulkan mengenai gambar di atas!
Pada gambar di atas terlihat bahwa
seorang pedagang yang sedang
menimbang buah, pedagang itu hanya menimbang buah yang dipilih oleh pembeli saja. Pembeli tersebut bernama Pak
Alan, ia akan membeli 25 kg anggur.
Sebelum membeli, ia mengambil beberapa anggur secara acak dari setiap keranjang
untuk dicicipi rasanya. Jika rasanya manis, Pak Alan akan menganggap bahwa
anggur yang akan dibeli manis, kemudian segera membelinya. Anggur yang diambil
Pak Alan untuk dicicipi merupakan sampel dari seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang
itu, sedangkan seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu merupakan
populasi. Dari
uraian diatas, dapatkah kalian menjelaskan pengertian dari populasi dan sampel?
Populasi adalah semua objek yang menjadi
sasaran pengematan sedangkan sampel adalah bagian dari populasi yang diambil
untuk dijadikan objek pengamatan langsung dan dijadikan dasar dalam penarikan
kesimpulan mengenai populasi.
Setelah mengetahui pengertian populasi
dan sempel, dari uraian berikut tentukanlah mana yang termasuk populasi dan
sampel!
Seorang peneliti ingin mengetahui
tingkat kecerdasan siswa-siswa SMP di Daerah
Istimewa Yogyakarta. Untuk itu, ia mengambil beberapa
siswa SMP dari setiap kabupaten di Daerah
Istimewa Yogyakarta untuk dites.
Seluruh siswa yang ada di Daerah Istimewa Yogyakarta merupakan populasi, sedangkan sebagian siswa SMP dari setiap kabupaten di Daerah Istimewa Yogyakarta yang mengikuti tes merupakan
sampel dari seluruh siswa yang ada di Daerah Istimewa Yogyakarta .
Perhatikan gambar berikut!
 |
Pada Gambar 4 di atas dapat
kita lihat hubungan antara populasi dan sampel, jadi sampel merupakan bagian dari populasi sedangkan
populasi mencakup keseluruhan sampel. Dalam suatu penelitian, semakin
besar ukuran populasi maka semakin sulit
mengamati seluruh populasi tersebut.
Sehingga biasanya dalam penelitian dipilih
beberapa sampel untuk diamati.
a.
Jenis-jenis data
1) Berdasarkan
jenisnya data, data dibedakan menjadi dua macam yaitu:
a) Data
kategorik adalah data yang diperoleh dari pengematan sifat suatu aspek
Contoh:
Golongan darah (A, B,
AB, O) dan pekerjaan orang tua (pegawai negeri, petani, sopir, pegawai swasta,
wirausaha, dll).
b) Data
numeric adalah data yang diperoleh
dari hasil pengukuran
Contoh: Berat badan anak kelas VII dan umur anak
kelas VIII.
2)
Sedangkan menurut
sifatnya data, dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu:
a)
Data kuantitatif,
adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas
dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.
i.
Data cacahan (data
diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misalnya data
jumlah anak dalam suatu keluarga.
ii.
Data ukuran (data
kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya data tinggi
badan siswa.
2)
Data kualitatif,
adalah data yang tidak berbentuk angka atau bilangan, misalnya, data warna dan
mutu barang.
b.
Cara menumpulkan
data
Berbicara mengenai statistika
tentunya tidak lepas dari adanya data, data dalam statistika akan diolah
sehingga menghasilkan suatu kesimpulan yang valid. Untuk mendapatkan suatu
kesimpulan yang valid maka harus dibutuhkan data yang benar-benas sesuai fakta
atau kenyataan yang ada pada objek penelitian. Terdapat beberapa cara mengumpulkan
data diantaranya:
1)
Wawancara
Wawancara adalah cara menghimpun bahan-bahan keterangan
yang dilaksanakan dengan tanya jawab baik secara lisan, sepihak, maupun berhadapan
muka, dengan arah dan tujuan yang telah ditentukan. Data
diperoleh dengan cara bertanya langsung ke objek-objek yang diteliti. Sebelum
melakukan wawancara sebaiknya harus
dipersiapkan daftar
pertanyaan yang akan ditanyakan.
2)
Pengisian
lembar pertanyaan (Angket)
Angket (kuisioner) adalah pengumpulan data yang diperoleh
dengan cara meminta objek untuk mengisi lembaran yang berisi daftar pertanyaan
dan/atau pertanyaan tentang topik yang diteliti. Diperlukan pengetahuan tentang
topik yang sedang diteliti untuk memaksimalkan kekuatan data.
3)
Pengamatan
(observasi)
Observasi adalah cara menghimpun bahan-bahan keterangan
yang dilakukan dengan mengadakan pengamatan dan pencatatan secara sistematis
terhadap fenomena-fenomena yang dijadikan objek pengamatan.
Sering kali data yang
dikumpulkan berupa bilangan desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki,
bilangan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai berikut.
Jika angka yang mengalami pembulatan
lebih dari atau sama dengan 5, angka yang di depannya ditambah satu.
Jika angka yang mengalami pembulatan
kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan. Misalnya, diketahui hasil pengukuran
kadar garam air laut sebesar 0,36205. Angka tersebut jika dibulatkan sampai
dengan empat angka di belakang koma menjadi 0,3621, sedangkan jika dibulatkan
sampai dengan dua angka di belakang koma menjadi 0,36.
c. Penyajian
data
Perhatikan gambar di bawah ini!
 |
Ketika SD, SMP dan SMA pasti kalian perna berkunjung ke ruang guru atau ruang
kepala sekolah, di ruang itu kalian akan melihat satu atau bahkan lebih papan
yang dipajang di dinding. Biasanya kalian akan melihat data prestasi sekolah,
data siswa masuk dan siswa yang lulus, atau kalian akan melihat data rata-rata
rapor setiap akhir semester. Data-data tersebut biasanya disajikan dalam bentuk table dan diagram. Mengapa data tersebut
disajikan dalam tabel dan diagram?
Tujuan dibuatnya tabel dan diagram pada ruang kepala sekolah yaitu
untuk menunjukkan fakta dengan jelas dan mudah dipahami serta menjadikan proses
komunikasi lebih cepat dan menarik. Ada dua cara
penyajian data yang sering dilakukan, yaitu
dalam bentuk tabel dan diagram.
1)
Penyajian data
dalam bentuk tabel
Untuk memahami penyajian data
dalam bentuk tabel lakukanlah kegiatan berikut.
a)
Siapkan alat tulis
seperti buku, pensil, dan penggaris.
b)
Datalah ukuran
sepatu teman-teman sekelas kalian sebanyak 30 orang.
c)
Catatlah data
tersebut dalam buku atau kertas yang telah disediakan yang meliputi nama dan
ukuran sepatu.
d)
Buatlah tabel yang
terdiri dari 3 kolom dan 31 baris.
e)
Di atas tabel
berilah judul tentang data yang kalian dapatkan.
f)
Isilah kolom
pertama baris pertama dengan no urut, kolom kedua baris pertama dengan nama dan
kolom keteiga baris pertama dengan ukuran sepatu.
g)
Masukkan data nama
dan ukuran sepatu dari hasil pendataan yang telah kalian lakukan sebelumnya.
h)
Cantumkan sumber
data yang kalian peroleh.
Dari kegiatan tersebut
diperoleh tabel sebagai berikut:
Ukuran Sepatu Kelas XII IPA 3
No.
|
Nama
|
Ukuran sepatu
|
1
|
Sintia
|
36
|
2
|
Lovita
|
37
|
3
|
Derina
|
36
|
4
|
Juna
|
40
|
5
|
Julio
|
42
|
6
|
Nuri
|
38
|
7
|
Lulu
|
38
|
8
|
Lusiana
|
39
|
9
|
Ari
|
39
|
10
|
Rina
|
37
|
11
|
Sari
|
36
|
12
|
Dwi
|
36
|
13
|
Raju
|
40
|
14
|
Tama
|
41
|
15
|
Putra
|
42
|
16
|
Murti
|
41
|
17
|
Nisa
|
36
|
18
|
Masya
|
38
|
19
|
Tami
|
37
|
20
|
Retno
|
39
|
21
|
Yanto
|
40
|
22
|
Tutik
|
37
|
23
|
Nur
|
39
|
24
|
Wari
|
36
|
25
|
Yayan
|
40
|
26
|
Nuhan
|
42
|
27
|
Fatimah
|
38
|
28
|
Dewi
|
38
|
29
|
Aini
|
36
|
30
|
Fitri
|
37
|
Tabel. 1 Data
ukuran sepatu
Sumber:
Pengamatan di dalam kelas
Setelah data disajiakan dalam
tabel maka akan lebih mudah dalam menentukan ukuran sepatu dari siswa, sebagai
contoh ukuran sepatu Aini adalah 36.
Data ukuran sepatu di kelas XII
IPA 3 masih dapat dikatakan sebagai data yang sedikit sehingga dapat didaftar
satu persatu, sedangkan jika data yang diperoleh sangat banyak maka cukup
dengan menuliskan informasi yang dibutuhkan dalam kasus ini adalah ukuran
sepatu dan jumlah dari setiap ukuran sepatu. Untuk lebih memahami cara membuat
tabel dengan data yang cukup banyak dapat dilakukan kegiatan berikut.
a)
Lihatlah kembali
data ukuran sepatu pada kegiatan sebelumnya.
b)
Catatlah ukuran
sepatu yang ada dalam data tersebut beserta jumlahnya.
c)
Buatlah tabel yang
terdiri dari 2 kolom dan beberapa baris (disesuaikan dengan banyaknya ukuran
sepatu).
d)
Berilah judul di
atas tabel untuk tabel tersebut.
e)
Pada kolom pertama
baris pertama isilah dengan “ukuran sepatu”.
f)
Pada kolom kedua
baris pertama isilah dengan “frekuensi”
g)
Pada kolom ukuran
sepatu isilah dengan ukuran sepatu yang ada dalam data secara urut.
h)
Pada kolom
frekuensi isilah dengan jumlah banyaknya masing-masing ukuran sepatu.
Penyajian data pada kegiatan di
atas disebut dengan tabel frekuensi,
yaitu tabel yang menyatakan banyaknya data dari setiap informasi. Pada
data sebelumnya jika dibuat menjadi tabel frekuensi maka akan menjadi sebagai
berikut.
Ukuran Sepatu Kelas XII IPA 3
Ukuran Sepatu
|
Frekuensi
|
36
|
7
|
37
|
5
|
38
|
5
|
39
|
4
|
40
|
4
|
41
|
2
|
42
|
3
|
Jumlah
|
30
|
Tabel. 2 Data
ukuran sepatu dalam frekuensi
Sumber:
Pengamatan di dalam kelas
Dari kegiatan di atas apakah
yang disebut dengan tabel dan apa saja bagian-bagian dari tabel?
Tabel adalah kumpulan data yang
disusun berdasarkan baris dan kolom. Baris dan kolom tersebut berfungsi untuk
menunjukkan data yang terkait keduanya. Pertemuan antara baris dan kolom adalah
data yang dimaksut. Bagian bagian dari tabel adalah:
a)
Judul tabel yang
mewakili keseluruhan isi tabel, terletak di bagian atas tabel.
b)
Kolom tabel, yaitu
urutan deret tabel yang memanjang dari kiri ke kanan dan memuat informasi
secara vertikal (dari atas ke bawah).
c)
Baris tabel, yaitu
urutan lajur tabel yang memanjang dari atas ke bawah dengan memuat informasi
secara horizontal (dari kanan ke kiri).
d)
Sumber data atau
informasi yang memuat asal informasi dalam tabel, terletak di bagian bawah
tabel.
2)
Penyajian data
dalam bentuk diagram
Dalam menyajikan data terdapat
berbagai macam cara salah satunya yaitu menggunakan tabel yang telah kita bahas
sebelumnya. Selain menggunakan tabel masih terdapat cara lain untuk menyajikan
data yaitu menggunakan diagram. Penyajian data dengan diagram juga masih
memiliki beberapa jenis yaitu diagram batang, diagram garis dan diagram
lingkaran. Untuk mamahami cara penyajian data menggunakan berbagai macam
diagram lakukanlah beberapa kegiatan berikut.
a)
Menyajikan data
dalam bentuk diagram batang
Penyajian data menggunakan
diagram batang memerlukan penggaris untuk menghitung skala dari diagram
tersebut. Untuk lebih ikuti langkah-langkah berikut.
i.
Siapkan alat-alat
yang dibuthkan.
ii.
Cermati kembali
data ukuran sepatu pada kegiatan sebelumnya.
iii.
Buatlah sumbu
mendatar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.
iv.
Gunakan sumbu
mendatar untuk menunjukkan kategori, dalam kegiatan ini adalah ukuran sepatu,
kemudian berilah nama sumbu tersebut sesuai dengan kategorinya.
v.
Gunakan sumbu tegak
untuk menunjukkan frekuensi atau banyaknya data, kemudian berilah nama sumbu
tersebut dengan “frekuensi”.
vi.
Di atas sumbu
mendatar dan tegak tersebut berilah judul untuk diagram batang pada kegiatan
ini.
vii.
Buatlah skala yang
tepat dan konsisten untuk setiap sumbu mendatar maupun tegak.
viii.
Perhatikan hubungan
antara variabel ukuran sepatu dengan frekuensi masing-masing ukuran sepatu.
ix.
Gambarlah
batang-batang dengan tinggi sesuai dengan frekuensi masing-masing ukuran
sepatu.
x.
Cantumkan sumber
data di bawah diagram.
Dari kegiatan tersebut kita
telah membuat diagram batang berdasarkan data yang didapatkan sebelumnya, jika
digambarkan maka hasilnya sebagi berikut.
 |
Pada diagram batang tersebut kita
dapatkan informasi:
i.
Banyak siswa yang memakai
sepatu ukuran 36
adalah 7 anak
ii.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 37
adalah 5 anak
iii.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 38
adalah 5 anak
iv.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 39
adalah 4 anak
v.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 40
adalah 4 anak
vi.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 41
adalah 2 anak
vii.
Banyak siswa yang
memakai sepatu ukuran 42
adalah 3 anak
b)
Menyajikan data
dalam bentuk diagram garis
Seperti halnya dengan penyajian
dalam mengguakan diagram batang pada penyajian data dengan bentuk diagram garis
juga memerlukan penggaris untuk menghitung skala dari diagram tersebut. Untuk
membuat diagram garis lakukan kegiatan berikut.
i. Siapkan alat-alat yang dibuthkan.
ii. Cermati kembali data ukuran sepatu pada kegiatan
sebelumnya.
iii. Buatlah sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling
berpotongan.
iv. Gunakan sumbu mendatar untuk menunjukkan kategori, dalam
kegiatan ini adalah ukuran sepatu, kemudian berilah nama sumbu tersebut sesuai
dengan kategorinya.
v. Gunakan sumbu tegak untuk menunjukkan frekuensi atau
banyaknya data, kemudian berilah nama sumbu tersebut dengan “frekuensi”.
vi. Di atas sumbu mendatar dan tegak tersebut berilah judul
untuk diagram garis pada kegiatan ini.
vii. Buatlah skala yang tepat dan konsisten untuk setiap sumbu
mendatar maupun tegak.
viii. Perhatikan
hubungan antara variabel ukuran sepatu dengan frekuensi masing-masing ukuran
sepatu.
ix. Buatlah titik-titik pertemuan antara kategori dengan
frekuensi masing-masing ukuran sepatu.
x. Hubungkan titik-titik terebut sehingga membentuk garis.
xi. Cantumkan sumber data di bawah diagram.
Dari kegiatan tersebut kita
telah membuat diagram garis berdasarkan data yang didapatkan sebelumnya, jika
digambarkan maka hasilnya sebagi berikut.
 |
c)
Menyajikan data
dalam bentuk diagram lingkaran
Penyajian data menggunakan
diagram lingkaran memerlukan penggaris, jangka dan busur deerajat untuk
menghitung skala dari diagram tersebut. Untuk lebih jelasnya ikuti
langkah-langkah berikut.
i. Siapkan alat-alat yang dibuthkan.
ii. Cermati kembali data ukuran sepatu pada kegiatan
sebelumnya.
iii. Buatlah lingkaran menggunakan jangka sebagai diagram.
iv. Di atas lingkaran berilah judul untuk diagram lingkaran
pada kegiatan ini.
v. Buatlah sudut pusat dari setiap kategori berdasarkan
frekuensi data yang ada, sehigga lingkaran tersebut aka terbagi menjadi
juring-juring.
vi. Untuk menentukan besar sudut pusat masing-masing juring
dapat menggunakan sudut penuh satu lingkaran yang dikalikan dengan jumlah data
dan dibagi dengan total data.
vii. Setelah menentukan besar sudut setiap juring, selanjutnya
buatlah juring-juring tersebut menggunakan busur derajat dan penggais.
viii. Berilah keterangan untuk setiap juring tersebut.
ix. Cantumkan sumber data di bawah diagram.
Dari kegiatan tersebut kita
telah membuat diagram lingkaran berdasarkan data yang didapatkan sebelumnya, dan
jika dihitung menggunakan rumus maka besar sudut pusat setiap kategori adalah
sebagai berikut.
Sedangkan jika digambar dalam
diagram lingkaran maka hasilnya seperti berikut:
 |
Setelah melakukan kegiatan di
atas apakah yang dimaksut dengan diagram lingkaran? Bagaimana rumus menentukan
besar sudut pusat setiap kategori?
Diagram lingkaran adalah
diagram yang menggunakan lingkaran sebagai objek penempatan informasi yang
terbagi menjadi beberapa juring untuk menunjukkan banyaknya data. Daerah
lingkaran menggambarkan data seluruhnya, sedangkan bagian dari data digambarkan
dengan menggunakan juring atau sektor. Besar sudut pusat setiap juring harus
sebanding dengan besar nilai data yang disajikan. Dengan demikian, sebelum
membuat diagram lingkaran, terlebih dulu harus dihitung sudut pusat dari tiap
juring dengan menggunakan rumus
Perhatikan
gambar berikut!
 |
Pernahkah kalian menerima hasil
ujian dari guru kalian? Pernah jugakah kalian menerima data nilai kelulusan
satu angkatan? Tentunya kalian semua pernah mengalami hal itu, jika kita
perhatikan dalam lembaran-lembaran nilai tersebut pasti akan ada nilai rata-rata,
nilai tertinggi dan nilai terendah. Kemudian jika kalian amati tiap-tiap nilai
maka akan kalian temukan beberapa nilai yang sama dan ada juga nilai yang
bervariasi mulai dari yang terendah hingga yang tertinggi. Berbicara mengenai
nilai hasil ujian dan pengolahannya seperti rata-rata median dan modus erat
kaitannya dengan materi statistika yaitu ukuran pemusatan data yang nantinya
akan dibahas lebih lanjut.
a. Rata-rata
Istilah “rata-rata sudah tidak asing lagi di telinga kita. Sering kali kita
mendengar kalimat “ Penduduk kota Yogyakarta rata-rata sopan dan ramah tamah”.
Sebenarnya apa maksut dari kata rata-rata dan kaitannya dengan statistika?
Untuk lebih jelasnya lakukan kegiatan berikut ini.
1) Amati
kembali data ukuran sepatu pada kegiatan sebelumnya yang
disajikan dalam tabel frekuensi.
2) Jumlahkan
seluruh bilangan yang menyatakan ukuran
sepatu pada tabel tersebut.
3) Catatlah hasil penjumlahannya.
4) Hitunglah banyaknya siswa pada kelas tersebut.
5) Jika
jumlah siswa dalam tabel menyatakan
banyaknya data, berapakah banyaknya data tersebut?
6) Jika
bilangan yang menunjukkan ukuran sepatu
tiap-tiap teman di dalam tabel merupakan nilai tiap-tiap data, berapakah jumlah
seluruh nilai data tersebut?
7) Bagilah jumlah seluruh nilai data dengan jumlah data.
Berapakah hasil dari pembagian tersebut?
8) Jika hasil dari pembagian jumlah nilai data dengan banyaknya
data disebut sebagai rata-rata maka, bagaimana rumus
umum untuk mendapatkan nilai rata-rata tersebut?
Dari kegiatan yang telah lakukan di
atas, maka dapat disimpulkan bahwa
rata-rata adalah salah satu ukuran pemusatan data yang diperoleh dari jumlah
seluruh datum dibagi dengan banyaknya datum. Rata-rata disebut juga sebagai
mean dan disimbolkan dengan
(dibaca x bar). Misalkan data tersaji x1, x2, x3, ..., xn:
maka rata-ratanya dapat dicari dengan:
b.
Modus
Kita
sering mendengar, misalnya, dalam berita-berita kriminalitas: “modus pembunuhan
itu adalah balas dendam”, “modus pencurian itu dengan menggunakan orang dalam”,
dan sebagainya. Kata “modus” dalam berita dunia kriminalitas ini semakna dengan
pengertian modus dalam matematika. Sebagai contoh pada kasus kedua, artinya
bahwa cara yang paling sering dipergunakan sang pencuri dalam melakukan
aksi kejahatan pencuriannya adalah dengan menggunakan jasa orang yang bekerja,
yang berdiam, atau yang memiliki hubungan dengan rumah atau kantor yang menjadi
tempat pencurian. Dari uraian di atas, untuk
menyatakan kecenderungan
yang paling banyak atau sering terjadi digunakan istilah modus tau mode.
Misalnya kita mendengar
bahwa umumnya kecelakaan lalu lintas terjadi karena kecerobohan pengemudi.
Berarti modus
penyebab kecelakaan lalu lintas adalah kecerobohan pengemudi.
Untuk mempelajari tentang konsep data
yang sering muncul (modus), lakukanlah kegiatan yang masih berkaitan dengan data
sebelumnya dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1) Amati kembali data ukuran sepatu siswa kelas XII IPA 3.
2) Dari
data tersebut perhatikan pada kolom frekuensi.
3) Berapakah frekuensi yang paling tinggi?
4) Jika frekuensi yang paling tinggi tersebut menyatakan
modus maka berapakah modus dari data ukuran sepatu siswa kelas XII IPA 3?
5) Lalu bagaimana cara menentukan modus dari suatu data?
Dari kegiatan di atas, maka dapat
disimpulkan bahwa modus adalah datum yang
sering muncul, atau datum yang frekuensinya paling banyak. Tetapi karena pengertian
(definisi) modus untuk satu anggota data maka untuk kasus terdapat lebih dari
dua anggota data dengan frekuensi terbesar kita katakan data tersebut sebagai
data bimodus (data dengan dua modus). Dalam kasus lain, bisa pula
terjadi ada tiga anggota data sebagai modus dalam sebuah data. Data dengan tiga
modus disebut dengan trimodus, kemudian data yang memiliki modus lebih dari 3
disebu sebagai polimodal. Namun ada juga data yang tidak memiliki
modus karena semua frekuensi dari data tersebut sama. Jadi secara singkat dapat
dituliskan:
Modus
= nilai yang paling banyak atau sering muncul.
Atau
Modus
= nilai yang frekuensinya tinggi.
c.
Median
Perhatikan gambar berikut!
Sebatang penggaris dengan
panjang 30 cm tentunya telah memiliki urutan angka yang rapi yaitu dari nol
hingga 30. Jika kita pegang kedua ujung penggaris dan kita jalankan kedua
tangan kita menuju suatu titik dengan kecepatan yang sama, maka kedua tangan kita
akan bertemu pada suatu titik. Dalam hal ini tangan kita akan bertemu pada
angka 15, angka 15 di sini di sebut sebagai titik tengah, dalam suatu data
titik tengah disebut sebagai nilai tengah atau median.
Untuk mempelajari tentang konsep nilai
tengah (median), dapat menggunakan
kegiatan sebagai berikut.
1) Amati
kembali data ukuran sepatu pada kegiatan sebelumnya.
2) Dari
data tersebut urutkan data dari yang
terkecil ke yang terbesar kemudian ditambah
satu data yaitu ukuran sepatu 42.
3) Carilah data yang terdapat pada
posisi paling tengah dari data ukuran sepatu
setelah ditambah satu ukuran.
4) Pada datum ke berapakah posisi tengah tersebut?
5) Carilah posisi paling tengah jika data ukuran sepatu
tidak ditambah satu data.
6) Jika hasilnya ada dua titik tengah maka jumlahkanlah kedua
titik tengah tersebut dan bagilah dua.
7) Berapakah
nilai yang didapatkan setelah menyelesaikan langkah f pada kegiatan di atas?
8) Jika
bilangan yang kalian
simpulkan pada langkah 4) dan 7) di atas disebut dengan median dari data
ukuran sepatu, bagaimana
rumus umum untuk mendapatkan nilai tengah tersebut?
Dari kegiatan yang telah lakukan di
atas, maka dapat disimpulkan median adalah
nilai tengah suatu data setelah diurutkan. Cara menentukan median adalah dengan
langkah mengurutkan data dari datum terkecil ke datum terbesar. Rumus
menentukan median jika banyaknya data ganjil adalah:
a. Jangkauan
Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenai data,
dalam suatu data tentunya ada datum terbesar dan datum terkecil atau biasa
disebut sebagai nilai terendah dan nilai tertinggi. Jika datum terbesar dikurangi
datum tertinggi menghasilkan suatu nilai baru, disebut apakah nilai tersebut.
Selisih antara datum terbesar dan datum terkecil disebut sebagai jangkauan.
Jangkauan dirumuskan sebagai berikut:
Jangkauan = datum terbesar-datum terkecil
b. Kuartil, jangkauan interkuartil, dan simpangan kuartil
Pada bagian ukuran pemusatan data telah dibahas mengenai
median, yaitu membagi data terurut menjadi dua kelompok yang sama banyak. Bagaimana
jika dua kelompok data yang sama banyak dari median dibagi kembali? Ada berapa bagiankah setelah dua kelompok dari
median dibagi kembali? Jika suatu data telah diketahui mediannya dan dibagi
kembali menjadi dua kelompok yang sama banyak, maka akan diperoleh empat
kelompok data yang sama banyak atau setiap kelompok terdiri dari ¼ data. Ukuran
yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak disebut sebagai
kuartil.
Kuartil membagi data menjadi 4 bagian yang sama, sehingga
kuartil memiliki beberapa jenis yaitu, kuartil pertama atau kuartil bawah,
kuartil kedua atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga atau kuartil atas. Secara
berturut-turut kuartil tersebut disimbolkan dengan notasi Q1, Q2,
Q3.untuk lebih jelasnya amati gambar berikut:
 |
Dari gambar di atas tampak bahwa banyak datum kelompok 1
= banyak datum kelompok 2 = banyak datum kelompok 3 = banyak datum kelompok 4.
Untuk menentukan nilai kuartil langkah-langkah yang harus
dilakukan adalah mengurutkan data, kemudian tentukan median dari data tersebut.
Nilai median tersebut disebut sebagai kuartil kedua. Kemudian tentukan kuartil
bawah dengan membagi data dibawah
kuartil ke dua menjadi dua bagian sama banyak. Dengan cara yang sama
tentukan kuartil atas dengan yaitu dengan membagi data di atas median menjadi
bua bagian sama banyak.
Untuk menentukan kuartil daat digunakan rumus:
Jika kuartil atas dikurangi dengan kuartil bawah maka
akan menghasilkan suatu nilai data baru yang disebut sebagai jangkauan kuartil
dan dinotasikan dengan QR
maka
QR = Q3 – Q1
Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan
interkuartil atau biasa disebut sebagai jangkauan semi interkuartil. simpangan
kuartil dinotasikan dengan Qd
jadi
Qd = ½ QR atau Qd = ½ (Q3 – Q1)
B. Peluang
Peta konsep
 |
Perhatikan gambar berikut!
Pernahkah kalian menonton sepak bola? Pernahkah
juga kalian menemukan suatu pertandingan sepak bola yang berakhir pada skor sama
sehingga harus dilakukan adu penalti? Taukan anda berapa kesempatan menendang bola
setiap kesebelasan pada saat adu penalti? Adakah kemungkinan bahwa diantara
beberapa tendangan tersebut tidak gol? Berapa peluang setiap tim kesebelasan
menang dalam adu penalti tersebut? Berbagai pertanyaan dalam ilustrasi di atas
merupakan salah satu kejadian meng mengandung peluang dalam kehidupan
sehari-hari. Selain kasus tersebut masih banyak lagi kejadian yang berkaitan
dengan peluang. Selain itu dalam kehidupan sehari-hari kita dihadapkan dalam
beberapa kemungkinan kejadian, dimana kita harus memilih. Berbicara mengenai
pilihan, kejadian dan peluang akan dibahas lebih lanjut pada materi ini.
Jika kita melempar undi mata uang logam
maka permukaan mata uang yang akan nampak muncul tidak dapat ditentukan
sebelumnya. Jadi, munculnya salah satu permukaan mata uang yang diharapkan
masih merupakan suatu kemungkinan. Demikian
juga jika kita melempar undi sebuah dadu, maka mata dadu berapa yang akan
muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya. Pada umumnya kejadian-kejadian yang
akan datang tidak dapat dipastikan atau dengan istilah lain masih merupakan
suatu kemungkinan. Perhatikan contoh pertanyaan berikut ini!
a. Pak Ahmad selalu bersungguh-sungguh dan cermat dalam
menyelesaikan pekerjaannya, maka ia memiliki
kemungkinan untuk naik jabatan di bulan
depan.
b. Jika
hari ini seorang pedagang memperoleh keuntungan besar di hari sabtu, mungkinkan pada hari minggu ia akan
memperoleh keuntungan yang besar lagi?
c. Jika
kita mengikuti arisan, mungkinkan kita akan mendapat arisan yang pertama kali?
Dari contoh di atas, ternyata istilah
kemungkinan atau peluang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Oleh
sebab itu, contoh-contoh maupun soal-soal pada teori peluang kebanyakan
menggunakan alat-alat judi seperti dadu, kartu, dan lain-lain. Dari beberapa pernyataan di
atas mengenai peluang siangkatnya peluang disebut juga sebagai probabilitas
yaitu kemungkinan terjadinya suatu peristiwa atau kejadian. Sedangkan menurut
wikipedia peluang adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan
bahwa sustu kejadian akan berlaku atau telah terjadi.
2. Ruang
Sampel dan Titik Sampel
Perhatikan
gambar berikut!
Tentunya kalian semua sudah
mengetahui apa nama dari benda pada gambar di atas. Gambar di atas adalah
sebuah dadu, jika sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali, kemungkinan angka
berapa sajakah yang akan muncul? Mungkinkah angka 1, 2,3 atau mungkin bahkan
angka 7 atau 8. Dari pelemparan dadu ini kita akan lebih mudah memahami tentang
titik sempel dan ruang sampel. Untuk lebih jelasnya lakukan kegiatan berikut.
a.
Siapkan satu buah
uang logam.
b.
Bagilah tugas dengan teman sekelompok kalian yaitu sebagai
pelempar koin , pengamat dan pencatat
c.
Lemparkan sebuah koin sebanyak 10 kali,
amati dan catat hasil dari setiap
pelemparan pada tabel di bawah ini, dengan ketentuan A
untuk Angka dan G untuk Gambar
Pelemparan
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
Muncul
|
d. Cocokkan
hasil kegiatan kalian dengan kejadian di bawah ini jika ada centang mungkin dan
jika tidak centang tidak mungkin
Angka
⃝mungkin
⃝
tidak mungkin
Gambar
⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
Huruf ⃝mungkin
⃝
tidak mungkin
Dari kegiatan di atas yang
Angka atau Gambar disebut sebagai titik sampel sedangkan semua kemungkianan kejadian
yang muncul disebut sebagai ruang sampel.
Untuk lebih memahami tentang
titik sampel dan ruang sampel lakukan kegiatan berikut ini.
a.
Siapkan satu buah
dadu.
b.
Bagilah tugas sebagai
pelempar dadu
, pengamat dan pencatat.
c.
Lemparkan dadu, amati
dan catat angka yang muncul pada tabel di bawah ini.
d.
Lakukan pelemparan
selama 6 kali.
Pelemparan
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
V
|
VI
|
Muncul
|
e. Cocokkan
hasil kegiatan kalian dengan kejadian di bawah ini jika ada centang mungkin dan
jika tidak centang tidak mungkin
1
⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
2 ⃝mungkin
⃝
tidak mungkin
3 ⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
4 ⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
5 ⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
6 ⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
7 ⃝mungkin
⃝
tidak mungkin
8 ⃝mungkin
⃝
tidak mungkin
9 ⃝mungkin
⃝tidak
mungkin
f.
Dari percobaan di atas ada berapakah titik
sampelnya ?
Dari dua
kegiatan di atas dapatkah kalian menyimpulkan apa yang dimakdut dengan titik
sampel dan ruang sampel?
Kesimpulan
dari dua kegiatan di atas yaitu:
Titik sampel adalah suatu
kejadian yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Sedangkan ruang sampel
adalah himpunan yang anggotanya semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu
percobaan. Ruang sampel bisa dilambangkan dengan S. Pada kegiatan pelemparan
dadu 1,2,3,4,5, atau 6 disebut sebagai titik sampel. Ruang sampelnya yaitu
dituliskan sebagai S= {1,2,3,4,5,6}
Untuk menentukan titik sampel
dan ruang sampel terdapat beberapa cara yaitu:
a. Cara
mendaftarkan
Biasanya digunakan pada suatu percobaan
yang hanya dilakukan sekali (pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali,
pengundian sekeping uang logam sebnayak satu kali, pengambilan acak sebuah
kartu dari kartu satu set kartu)
Contoh:
Tentukan ruang sampel
dari pengundian sekeping uang logam sebanyak satu kali!
Jawab: S = {A,G}
b. Cara
tabel
Biasanya digunakan pada suatu percobaan
yang dilakukan dua kali (pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali atau
pelemparan dua buah dadu sebanyak satu kali,
pelemparan sekeping uang logam sebanyak dua kali atau pelemparan dua uang logam
sebanyak satu kali)
Contoh:
Tentukan ruang sampel
dari pelemparan sebuah dadu sebanyak dua kali!
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
S= {( 1,1), (1,2), (1,3),...,(6,4),
(6,5),(6,6)}
Dari
tabel diatas terlihat bahwa ada 36 titik sampel, artinya banyaknya anggota
ruang sampel [ ditulis n(S)] adalah n(S)=36
c. Diagram
pohon
Biasanya digunakan pada suatu percobaan
ynag dilakukan lebih dua kali (pelemparan sebuah dadu sebanyak tiga kali atau
pelemparan tiga buah dadu sebanyak satu kali, pelemparan sekeping uang logam
sebanyak tiga kali atau pelemparan tiga uang logam sebanyak satu kali)
Contoh: Tentukan ruang sampel
dari pelemparan tiga keping uang
logam sebanyak satu kali!
Jawab:
 |
Perhatikan gambar berikut!
 |
Pernahkah kalian melihat benda pada gambar di atas? Taukah kalian apa itu kartu
remi (brigde)? Berpakah jumlah kartu remi? Pada
seperangkat kartu remi terdapat 52
buah kartu yang terdiri atas 13 buah kartu merah bergambar hati (heart), 13 kartu merah bergambar wajik (diamond), 13 kartu hitam bergambar sekop
(spade), dan 13 kartu hitam bergambar
keriting (club).
Misalkan, sebuah kartu diambil secara
acak dari seperangkat kartu remi tersebut. Andaikan kartu yang terambil
bergambar skop,
kejadian muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian
sederhana karena munculnya kartu bergambar hati pasti hitam.
Berbeda jika kartu terambil berwarna hitam.
Kejadian munculnya kartu berwarna hitam
dinamakan kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarna hitam belum tentu bergambar skop, tetapi mungkin
bergambar keriting.
4. Frekuensi
Relatif
Dari kejadian sederhana ini kita akan
menghitung frekuensi relatif. Apa pengertian frekuensi relatif? Untuk lebih
mudah memahami tentang frekuensi relatif silahkan simak ilustrasi berikut. Caca memiliki sebuah uang
koin yang akan digunakan untuk melakukan percobaan statistika. Caca melempar uang koin
sebanyak 50
kali, ternyata muncul sisi angka sebanyak 21
kali.
Perbandingan
banyak kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah
. Nilai ini dinamakan frekuensi relatif munculnya
angka.
Untuk
lebih memahami tentang frekuensi relatif
lakukanlah kegiatan berikut ini:
a.
Siapkan sebuah uang
koin dan alat tulis.
b.
Lemparkan
koin sebanyak 5 kali, 10
kali, 15 kali, 20 kali 25 kali dan 30 kali.
c.
Catat
banyak angka yang muncul.
d.
Tuliskan
hasil munculnya angka yang diperoleh pada tabel dibawah ini.
Banyak
lemparan
|
Banyak sisi
angka yang muncul
|
Frekuensi
relatif muncul sisi angka
|
5
|
||
10
|
||
15
|
||
20
|
||
25
|
||
30
|
e. Amati tabel yang telah kalian lengkapi di atas!
f. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang frekuensi relatif
munculnya sisi angka jika banyaknya lemparan semakin besar?
g. Apa yang dapat kalian simpulkan tentang frekuensi
relatif?
Jadi,
frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan
banyaknya percobaan. Frekuensi
relatif munculnya kejadian K disimbolkan dengan fr.
5. Kisaran nilai peluang
a.
Rumus peluang
Dalam pelemparan sebuah dadu hasil
yang mungkin adalah munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6,
sehingga ruang sampelnya adalah S =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Peluang munculnya setiap titik
sampel dalam ruang sampel adalah sama yaitu
. Untuk lebih
memahami dalam menentukan rumus peluang lakukanlah kegiatan berikut.
1) Siapkan dua buah uang logam dan alat tulis
2) Lemparkan
dua buah uang logam yang secara bersamaan, kemudian isilah tabel di bawah ini!
Titik sampel pada
pelemparan 2 uang logam secara bersama
|
GG
|
GA
|
AG
|
AA
|
Banyaknya setiap
titik sampel
|
Keterangan: G = Gambar, A = Angka
3) Dari
pelemparan dua buah uang logam secara bersama, mungkin muncul GG saja, atau GA
saja, atau AG saja, atau AA
4) Jika
pelemparan dua buah uang logam secara bersama, maka peluang GG yang muncul
adalah
. Maksudnya yaitu banyaknya titik sampel GG adalah 1
dari jumlah seluruh titik sampel pada ruang sampel di pelemparan dua buah uang
logam secara bersama adalah 4 yaitu GG, GA, AG, AA.
5) Jika
pelemparan dua buah uang logam secara bersama, maka berapakah peluang AG yang
muncul?
6) Jika
pelemparan dua buah uang logam secara bersama, maka berapakah peluang GA yang
muncul?
7) Jika
pelemparan dua buah uang logam secara bersama, maka berapakah peluang AA yang
muncul?
8) Bagaimana rumus menentukan peluang suatu kejadian?
Dari keterangan di atas dapat
disimpulkan bahwa:
Titik sampel
|
GG
|
AG
|
GA
|
AA
|
Peluang setiap titik
sampel
|
¼
|
¼
|
¼
|
¼
|
Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluang
muncul yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K)
didefinisikan sebagai berikut.
b.
Nilai peluang
Dalam suatu kejadian tentunya
ada suatu perkataan pasti terjadi, mungkin terjadi, atau bahkan tidak terjadi.
Hal seperti ini berkaitan dengan nilai peluang suatu kejadian yang dijabarkan
sebagai berikut:
1)
Peluang suatu
kejadian nilainya berkisar 0 sampai dengan 1 atau secara matematis
2)
Peluang suatu kejadian
yang tidak mungkin terjadi, nilainya 0 atau P(K) = 0 .
3)
Peluang kejadian
yang pasti terjadi nilainya 1 atau P(K) = 1
6. Frekuensi harapan
Sebuah mata uang logam dilempar
sebanyak 100 kali. Dalam sekali pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah
½ .
Dari pelemparan uang logam
sebanyak 100 kali, dapat diharapkan munculnya sisi angka sebanyak 50 kali.
Namun tidak mengherankan apabila dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka
sebanyak 44, 49, 52 atau 55 kali. Akan tetapi akan mengherankan jika munculnya
sisi angka hanya 4 atau 5 kali. Harapan munculnya sisi angka sebanyak 50 kali
dari 100 kali pelemparan uang logam disebut sebagai frekuensi harapan.
Frekuensi harapan (FH) dari suatu
kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari
sejumlah percobaan yang dilakukan.
 |
FH=
frekuensi harapan
P(K)= peluang
kejadian K
N = banyaknya
percobaan
Komentar
Posting Komentar